4-point probe (Kelvin probe)

4-point probe 방식은 면저항을 측정하는 데 쓰이는 방식이다.

 

 

4포인트 프로브 방식의 기본 원리

1. 전류 주입: 4개의 프로브 중 바깥쪽 두 개의 프로브를 사용하여 샘플에 전류를 주입한다. 이 전류는 일정하게 유지되어야 한다.
2. 전압 측정: 내부의 두 프로브는 샘플의 전압을 측정하는 데 사용된다. 이 두 프로브 사이의 전압 차이는 바깥쪽 프로브에 의해 주입된 전류로 인해 발생하는 전압 차이다.
3. 저항 계산: 측정된 전압과 주입된 전류를 사용하여 샘플의 저항을 계산할 수 있다. 옴의 법칙 R=IV (여기서 R은 저항, V는 전압, I는 전류)을 사용하여 저항을 계산한다.

4포인트 프로브 방식의 장점은 측정 중에 발생하는 접촉 저항과 프로브의 저항이 결과에 영향을 주지 않는다는 것이다.

이 방식은 특히 저항이 매우 낮거나 높은 재료의 저항도를 정확하게 측정하는 데 유용하다.

 

sheet resistance

전체 저항 = 비저항 * 길이/면적

면적은 Wt이다.

비저항을 t(두께)로 나눈 값이 Rs (sheet resistance)이다. [옴/ㅁ], 저항값과 구별해 주기 위해서 이렇게 표현한다.

비저항값은 두께에 민감하게 바뀐다.

공정 엔지니어로부터 면저항 정보를 얻게되면 circuit 엔지니어는 단순히 W와 L값을 디자인함으로써 원하는 저항값을 알 수 있다. 비저항정보를 주게 되면 circuit 엔지니어가 t값도 고려해야 한다. 하지만 circuit 엔지니어가 알기 쉽지 않기 때문에  t값은 공정 엔지니어가 줘야한다.

 

 

 

 

 

2포인트 프로브 방식은 프로브의 컨택저항으로 인해 면저항의 값이 더 크게 측정되는 경향이 있다.

따라서 4포인트 프로브 방식을 이용하는 것이다.

볼트미터는 갈바노미터와 저항기로 구성되어 있다.

저항기는 매우 높은 저항이 있어서 볼트미터의 total 저항을 높이는 역할을 한다. 따라서 볼트미터 내로 유입되는 전류는 매우 적다. 이것은 프로브의 컨택저항을 무시할 수 있게 한다.

미세전류가 볼트미터 내로 유입되면 갈바노미터로 들어간다.

갈바노미터는 여러 종류가 있지만 DC의 경우 PMMC와 Rg로 이루어져 있다. Rg를 통해 전류의 강도를 제한한다.

PMMC 기기 자체는 전류를 측정하는 데 사용되지만, 적절한 저항기와 함께 연결하면 전압도 측정할 수 있다. 이렇게 변환된 PMMC (Permanent-Magnet Moving-Coil) 기기를 볼트미터로 사용하여 전압을 측정한다.

PMMC

4포인트 프로브 방식에서의 R=V/I에서 V와 I

1. I (전류): 외부의 두 프로브를 통해 샘플에 주입된 전류이다. 이 전류는 일정하며, 전류원으로부터 제공된다.
2. V (전압): 샘플 내부의 두 프로브 사이에서 측정된 전압이다. 볼트미터는 이 두 프로브 사이의 전압 차이를 측정한다. 볼트미터를 통해 흘러들어 간 미세전류에 의한 전압 (= 샘플에 주입된 전류 I에 의해 발생한 전압) 강하이다.

따라서, R=V/I에서 V는 볼트미터를 통해 측정된 샘플의 전압 강하이며, I는 샘플에 주입된 전류다

 

이렇게 측정된 저항은 면저항이다.

 

하지만 유입된 모든 전류가 프로브 1 → 프로브 4로 이동하는 것이 아니어서 R=V/I를 사용하면 안 된다.

계산상의 편의를 위해 보통 " 저항을 측정할 sample은 반 무한평면이며 두께도 충분히 두껍다."라는 가정을 하게 된다.

구하고자 하는 값은 1,4 탐침으로 I가 흘러들어 가고 나올 때 2, 3 탐침 위치에서의 전위차이다.

첫 번째로 할 단계는 탐침이 하나일 때, 전류 I가 흐른다면 r만큼 떨어진 지점에서의 전위가 어떻게 되는지 구하는 것이다. 그러고 나서, 탐침 2개의 전위를 중첩해서 더해주면 된다.

위의 왼쪽 그림에서 보듯이, I전류가 탐침으로부터 들어오면 전체 전류는 일정하게 유지되며 반구 형태로 대칭적으로 퍼져나가게 된다. 전류밀도는 전류가 흐르는 단면적으로 전류를 나눈 값이 되기 때문에 탐침으로부터 r만큼 떨어진 지점에서 전류밀도 J는 다음과 같이 계산된다.

옴의 법칙

전기장은 전류밀도에 비저항값만을 곱해주면 된다. 전위는 전기장을 r에 대해서 적분하면 되기 때문에 탐침에서 r만큼 떨어진 점의 전위는 다음과 같이 표현된다.

구의 겉넓이 공식이 4πr^2이므로 반구의 경우, 겉넓이가 2πr^2이다.

 

 

 

 

4 탐침에 대해서도 똑같이 적용하면 된다.

각 탐침의 간격이 모두 s로 동일하다고 하면, 2번 탐침의 경우 1번으로부터 s, 4번으로부터 2s 떨어진 것이고, 3번 탐침의 경우 1번으로부터 2s, 4번으로부터 s 떨어진 것이기 때문에 두 탐침 사이의 전위차는 다음과 같다.

1번 탐침에서는 전류가 샘플로 들어가고 (주입되고), 4번 탐침에서는 샘플로부터 나오기 때문에 (추출되기 때문에) 전류의 방향이 서로 반대이다.

 

V2의 경우, 1번 프로브에서 주입되는 전류로 인한 전위 pI/2π * 1/s와 4번 프로브에서 나가는 전류로 인한 전위 -pI/2π * 1/2s를 합해야 한다. V3도 마찬가지다.

 

하지만 이것은 “저항을 측정할 sample은 반 무한평면이며 두께도 충분히 두껍다."라는 가정이 있을 때에만 성립한다.

만약에 탐침이 가장자리에 가깝다거나, sample의 두께가 유한하다거나(실제로는 유한), 모양이 특이하다거나 하면 여기에 보정계수 F를 곱해줘야 한다. 면저항이란, sample의 두께를 t라고 했을 때 비저항을 두께 t로 나눠준 것이 면저항이다.

이렇게 정의하면 R = 면저항*L/W라는 식이 매우 쉽게 얻어진다.

공정과정이 올바르다면 정사각형 패턴(L=W)에서 저항 값이 공정에서 설계된 면저항 값과 일치해야 한다. 이렇게 테스트 패턴을 만들어서 공정이 제대로 되었는지를 확인하기도 한다.

 

 

sample의 두께가 탐침 사이 간격(s)에 비해서 훨씬 작은 경우

경우 두께가 굉장히 얇기 때문에 반구형으로 전류가 퍼져나간다고 생각할 수 없을 것이다. 대신에, 매우 얇은 원기둥의 띠 형태로 전류가 퍼져나간다고 가정할 수 있다.

위와 같이 얇은 원기둥을 가정하면 단면적이 2*pi*r^2이 아닌 2*pi*r*t가 되어 위에서 전개한 수식이 변한다.

V23=(p*I/pi *t ) ln2이므로 (p = 비저항, I = 전류, t = 두께)

 

 

4 탐침 측정법에서 V/I앞에 4.532라는 보정치를 곱해줘야 하는 것을 유도한 것이다.

모양이 균일하지 않은 물체의 저항을 측정할 때 사용하는 Van der pauw(반데르 포) 방법도 많이 사용하는 방법이다.

 

 

 

 

보정 계수(Correction Factor)

 

보정 계수는 Sample size와 박막의 두께, 그리고 측정 시 온도 3가지의 계수를 이용하여 산출된다.

Sample size 계수는 직경이 40mm 이상일 때 4.532이고, 박막두께 계수는 박막두께가 400um 이하일 때 1이고,

온도는 약 23℃ 일 때 1에 가깝다. 이 조건으로 보정 계수를 계산해 보면 다음과 같다.

cf1 x cf2 x cf3 = C.F

4.532 x 1 x 1 = 4.532

 

 

 

 

 

 

표면저항(ohm/sq = Ω/ㅁ = Sheet resistance)

 

표면저항은 단위 ohm/sq로 표시된다. 여기서 sq는 미터법(㎠ 등)이 아닌 별도의 단위로서, 무한대의 면적으로 해석하는 것이 일반적이다.

4개의 탐침으로 전류와 전압을 측정하여, 저항값을 구한 후 보정 계수(C.F)를 적용하여 표면저항(ohm/sq)을 구한다.

 

V / I = ohm

ohm x C.F = ohm/sq

 

 

 

 

 

 

비저항(ohm/cm)

 

비저항은 물질의 고유저항으로서 순수물질의 경우에는 알려져 있지만, 혼합물의 경우 여러 가지 방법에 의하여 구할 수 있다.

4-point probe 방식을 이용할 경우 박막의 두께를 알고, 다음 식으로 구할 수 있다.

 

ohm/sq x Thickness(cm) = ohm/cm